大一新生的高数预备知识学习笔记

这篇文章主要是笔者从宋浩老师处学习高数高数知识的课堂笔记，也加入了一些笔者自己搜到的东西。具体课程你可以看这里：大一新生的高数预备知识简介.

反三角函数

y=arcsinX

y=arccosX

y=arctanX

y=arccotX

y=secX

正割是余弦的倒数：

$$
secX = \frac{1}{cosX}
$$

定义域：显然 $cosX \neq 0$，所以 $y=secX$ 的定义域为：$X\neq k\pi +\frac {\pi}{2},k\in Z$

y=cscX

一些补充

$$
sec^2x=1+tan^2x,csc^2x=1+cot^2x
$$

可以使用下面的方法进行记忆：

六边形的中间是 $1$。红色三角形的上边两个角的平方之和等于下边一个的平方，即：

$$
sin^2x+cos^2x=1
$$

$$
tan^2x+1=sec^2x
$$

$$
cot^2x+1=csc^2x
$$

多项式的除法

• 次数高的放前面，低的放后边
• 缺项的补出来

不带余数

带余数

有理分式的拆分

何为有理分式：

有理分式就是一个多项式比一个多项式

何为有理分式的拆分：

将相乘的项变成相加减

过程：

极坐标

基础概念

首先看转动角度，其次看这个点到原点的距离。

例如：直角坐标系中 $(2,2)$ 点在极坐标系中表示为 $(2\sqrt {2},\frac {\pi}{4})$；$(-2,2)$ 表示为 $(2\sqrt {2},\frac {3\pi}{4})$。

极坐标中的原点叫极点，极轴是从极点向 $X$ 轴正方向引入的一条射线（仅正方向有）。极坐标中的点到极点的距离叫做极径，记作 $\rho (\rho\geq0)$（距离肯定是个非负数）；从极轴逆时针转过的角度记作 $\theta (0\leq\theta<2\pi)$（但实际上不一定取这个范围）。所以极坐标中一点 $P$ 的坐标记为 $P (\rho,\theta)$。

一般先考虑 $\theta$ 再考虑 $\rho$。

一些常见图像的极坐标表示

括号内范围是默认范围，可写可不写

射线

例如一条以极点为端点，$\theta=45^\circ$ 的射线表述为：

$$
\theta = 45^\circ(,\rho\geq0)
$$

圆

例如一个以极点为圆心，$1$ 为半径的圆表述为：

$$
(0\leq\theta<2\pi,)\rho=1
$$

半圆

例如一个以极点为圆心，$1$ 为半径的位于 $X$ 轴上方的半圆表述为：

$$
0\leq\theta\leq\pi,\rho=1
$$

圆面

例如一个以极点为圆心，$1$ 为半径的圆面表述为：

$$
(0\leq\theta<2\pi,)0\leq\rho\leq1
$$

半圆面

例如一个以极点为圆心，$1$ 为半径的位于 $X$ 轴上方的半圆面表述为：

$$
0\leq\theta\leq\pi,0\leq\rho\leq1
$$

又例如这个以 $(1,0)$ 为圆心，$1$ 为半径的位于 $X$ 轴上方的半圆面表述为：

$$
0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},0\leq\rho\leq2cos\theta
$$

又例如这个：

圆环